√ Definisi Gelanggang (Ring Theory) Dalam Matematika

Dalam posting kali ini saya akan membahas ihwal salah satu bahan pelajaran matematika khususnya Struktur Aljabar yaitu Gelanggang. Gelanggang dalam bahasa Inggris disebut Ring.

Ring yaitu suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner terhadap penjumlahan dan perkalian. Tetapi perlu teman-teman ketahui bahwa gelanggang atau ring yaitu sebuah teori matematika dimana sebuah grup memenuhi sifat-sifat tertentu dan mempunyai kriteria tertentu untuk disebut atau dikatakan sebagai syarat-syarat menjadi gelanggang. Kaprikornus gelanggang atau ring berisi grup dengan anggota yang terdefinisi dengan baik.

Menurut Wikipedia Bahasa Indonesia "Gelanggang (ring) yaitu salah satu struktur aljabar, yang mempunyai 2 (dua) operasi biner, yang biasanya disebut operasi "penjumlahan" dan "perkalian". Ini berbeda dengan grup yang hanya mempunyai satu operasi biner". Berikut ini definisi dari gelanggang atau ring.

Definisi Gelanggang (Rings)

Misal R himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (x) disebut gelanggang (ring) kalau dan hanya kalau :

1. (R,+) grup abelian/grup komutatif

Himpunan R dengan operasi penjumlahan (R,+) dikatakan grup abelian atau grup komutatif kalau memenuhi sifat :
Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c) untuk suatu a,b,c ∈ R.
Memiliki Unsur Identitas
Untuk setiap a ∈ R terdapat e ∈ R sedemikian sehingga a + e = e + a = a.

Setiap Elemen Memiliki Invers
Untuk setiap a ∈ R terdapat (-a) ∈ R sedemikian sehingga a + (-a) = (-a) + a = e.
Komutatif
a + b = b + a untuk suatu a,b ∈ R.

2. (R,x) semigrup

Himpunan R dengan operasi perkalian (R,x) merupakan semigrup kalau memenuhi sifat :
Tertutup
Untuk setiap a,b ∈ R, a x b ∈ R.
Asosiatif
a (bc) = (ab) c untuk suatu a,b,c ∈ R.

3. (R,+,x) distributif

Himpunan R dengan operasi perkalian dan penjumlahan (R,+,x) mempunyai sifat distributif kalau :
Distributif Kanan
Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku a (b + c) = ab + ac
Distributif Kiri
Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) c = ac + bc

Perlu sobat ingat bahwa operasi perkalian tidak saya tuliskan, jadi contohnya ab sesungguhnya yaitu perkalian antara a dan b, a x b.

Kaprikornus syarat biar suatu himpunan dikatakan gelanggang atau ring harus memenuhi sifat grup abelian terhadap penjumlahan, semigrup terhadap perkalian, serta distributif terhadap perkalian dan penjumalah. Untuk lebih jelasnya sobat sanggup melihat gambar berikut ini.

Contoh himpunan yang merupakan gelanggang :

• Bilangan real
• Bilangan bulat

Definisi Gelanggang Komutatif (Abelian Rings)

Misal R gelanggang, R disebut gelanggang komutatif (abelian rings) kalau dan hanya kalau : untuk setiap a,b ∈ R maka berlaku ab = ba (operasi perkalian).

Contoh himpunan yang merupakan gelanggan komutatif :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional

Gelanggang dengan Unsur Kesatuan

Gelanggang R disebut gelanggang dengan unsur kesatuan kalau dan hanya kalau terdapat 1_R ∈ bilangan real sehingga untuk setiap a ∈ R berlaku a⋅1_R = 1_R⋅a = a.

Contoh himpunan yang merupakan gelanggan dengan unsur kesatuan :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional
• Bilangan matriks 2x2 elemen real

Gelanggang Tanpa Pembagi Nol

Gelanggang R disebut gelanggang tanpa pembagi nol kalau dan hanya kalau untuk setiap a,b ∈ R dengan ab = 0_R berakibat a = 0_R atau b = 0_R.

Contoh himpunan yang merupakan gelanggan tanpa pembagi nol :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional

Integral Domain/Daerah Integral

Gelanggang R disebut integral domain atau kawasan integral kalau gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan tidak memuat pembagi nol.

Contoh himpunan yang merupakan kawasan integral :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional

Division Ring

Gelanggang R disebut "Division Ring" kalau dan hanya kalau gelanggang R merupakan gelanggang dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap operasi perkalian.

Contoh himpunan yang merupakan division ring :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional

Field/Lapangan

Gelanggang R disebut field atau lapangan kalau dan hanya kalau gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap perkalian.

Contoh himpunan yang merupakan division ring :

• Bilangan real
• Bilangan rasional

Karakteristik Gelanggang (Ring)

Karakteristik dari suatu gelanggang R yaitu bilangan orisinil terkecil sehingga n⋅a = 0 untuk setiap a ∈ R, n ∈ bilangan asli. Jika tidak ada bilangan orisinil sehingga n⋅a = 0 untuk setiap a ∈ R maka karakteristik dari gelanggang R disebut "memiliki karakteristik nol" atau "karakteristik tak hingga".

Mungkin cukup sekian dari saya, semoga sanggup bermanfaat, kalau ada yang ingin sobat tanyakan silakan sampaikan pada kotak komentar yang ada dibawah atau sanggup juga melalui halaman contact blog ini. Terima kasih, assalamu'alaikum warohmatullahi wabarokatuh.
Sumber http://www.maringngerrang.com/